레비-치비타 기호 (Levi-Civita Symbol)

요새 그리피스가 쓴 고양이책을 읽고 있다. 최소한의 계산만 하면서 연습문제는 전혀 풀지 않고 있어서 말 그대로 읽고 있다는 말이 적당하다. 수소원자에 관한 슈뢰딩거 방정식을 푸는 부분을 읽고 나자 뭔가 허해서(?), 다른 양자역학 책의 수소원자 부분을 읽기 시작했다.
읽다 보니 중간에 각운동량 연산자의 수학적 성질과 그 증명이 주욱 이어지는데 그 중에 각운동량의 교환 관계에 관한 다음 특성이 나온다.
$$[L_{i}, L_{j}] = i\hbar \epsilon_{ijk} L_{k}$$
여기서 $i$, $j$, $k$는 1, 2, 3 중 하나일 수 있고 각 숫자는 벡터의 $x$, $y$, $z$ 성분에 대응된다. 따라서 $L_1$ , $L_2$,   $L_3$ 각각 각 운동량의 $x$, $y$, $z$ 성분에 대응되는 연산자가 된다. 이 식은 서로 다른 두 성분의 각 운동량 연산자는 교환 가능하지 않는다는 사실을 수학적으로 표현한 것이다.
그런데 식의 우변에는 첨자가 여럿 달린 기호가 하나 있다.
$$\epsilon_{ijk}$$
이 기호는 물리 책에서 벡터곱(cross product) 혹은 외적이 등장하는 식의 증명에 자주 등장하는 레비-치비타 기호다. 앞서 잠시 언급했듯이 여기서 $i$, $j$, $k$는 각각 1, 2, 3 중 하나고, 이 기호의 값은 다음과 같이 $i, j, k$의 값에 따라 1, -1, 0 중 하나가 된다.
$$\epsilon_{ijk} = \begin{cases}
1 & \text{if } (i, j, k) = (1,2,3), (2, 3, 1), \text{or } (3, 1, 2) \\
-1 & \text{if } (i, j, k) = (2, 1, 3), (3, 2, 1), \text{or } (1, 3, 2) \\
0  &  \text{if } i = j \text{ or } j = k \text{ or } k = i
\end{cases}$$
풀어서 말하면 위 식은 $i, j, k$를 구성하고 있는 인접한 두수를 서로 교환해서 1, 2, 3을 만들기 위해 짝수번의 교환이 필요하면 1, 홀수번의 교환이 필요하면 -1,  그리고 $i, j, k$ 중 어느 두 수가 같으면 0이 된다는 의미다.
 
오늘 얘기해보려고 하는 것은 2개의 레비-치비타 기호의 곱과 관련된 다음과 같은 특별한 성질이다.
$$\sum_{i=1}^{3} \epsilon_{ijk} \epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}$$
책에 따라 같은 첨자가 두번 등장하는 경우 합에 관한 아인슈타인 표기법(Einstein summation convention)을 사용해
$$\epsilon_{ijk} \epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}$$
이렇게 기호를 생량하는 경우도 있다. 그리고 여기서 $\delta_{jm}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)로 두 아래 첨자가의 값이 같으면 1 다르면 0이다.
어떻게 이런 등식이 성립하는 것인지 살펴보기 위해 위 식의 합기호를 펼쳐서 보자.
 $$\epsilon_{1jk} \epsilon_{1mn} + \epsilon_{2jk} \epsilon_{2mn} + \epsilon_{3jk} \epsilon_{3mn}$$

이들 각각의 항이 0이 안 되기 위해서 $j,k,m,n$은  첫번째 첨자로 들어가 있는 숫자와 다른 숫자여야 한다. 그런데 여기서 1, 2, 3 중 어떤 숫자 하나와 다르게 선택하면 반드시 위 3개 항 중 2개 항은 첫번째 첨자와 같은 숫자가 나올 수 밖에 없다. 따라서 $j, k, m, n$을 어떻게 선택하든 기것해야 1개 항만 살아남을 수 있다. 말로만 해서는 바로로 와 닿지 않을 수 있으니 실제로 숫자들 대입해서 살펴보자. 예를 들어 j,k,m,n을 각각 2, 3, 2, 3으로 선택한 경우를 생각해 보면:

 $$\epsilon_{123} \epsilon_{123} + \epsilon_{223} \epsilon_{223} + \epsilon_{323} \epsilon_{323} = \epsilon_{123} \epsilon_{123}  = 1$$

첫번째 항을 제외한 나머지 할들은 모두 겹치는 숫자가 있기 때문에 0이 된다.

이처럼 어떤 수를 택하든 기껏해야 1개 항만 살아남고 첫번째 첨자는 결과에 영향을 미칠 수 없다. 결국 이 식은  1, 2, 3 새개의 숫자 중  임의의 숫자 2개를 골라 $j, k$와 $m, n$에 할당하는 방법에 따라  결과가 달라지게 된다. 경우의 수는 다음 3가지 뿐이다.

• 조합 1: $j=m$, $k=n$, $j \neq k$ $\Longrightarrow$  $\epsilon_{ijk} \epsilon_{ijk} = 1$
• 조합 2:  $j=n$, $k=m$, $j \neq k$  $\Longrightarrow$  $\epsilon_{ijk} \epsilon_{ikj} = -1$
• 조합 3: $j=k$ 또는 $m=n$ $\Longrightarrow$ 0 ($\because$ 첨자 중 어떤 2개가 같으면 레비-치비타 기호는 0이됨)

조합 1의 경우 2개의 레비-치비타 기호의 첨자 순서가 동일하므로 둘다 1이거나, -1이기 때문에 그 곲이 1이 되고, 조합 2의 경우 인접한 수를 한번 교환해야 첨자의 순서가 같아지므로 레비-치비타 기호 1개가 +1이면 다른 하나는 반드시 -1이 되어 둘의 곱은 -1이 된다.

이 결과를 정리해 크로네커 델타를 이용해 나타낼 수 있는데 조합 1의 경우는

$$\delta_{jm} \delta_{kn}$$ 

로, 조합 2는

$$-\delta_{jn} \delta_{km}$$

로 표현할 수 있다.

조합 3을 나타내려면 어떻게 해야 할까? 이렇게 하면 된다.

$$\delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}$$

이식은 $j=k$거나 $m=n$이면 무조건 0이 된다. 그런데  잘보면 이 식은 절묘하게도 조합 1의 경우에는 앞쪽 항만 남게되고, 조합 2의 경우에는 뒤쪽 항만 남게 되어 원래의 식 전부를 동일한 값이 됨을 알 수 있다.

 $$\sum_{i=1}^{3} \epsilon_{ijk} \epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}$$

캬아~ 아름답다... ㅋㅋ